Int´ egrales d´ ependant d’un param` etre
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8.4 Int´ egrales d´ ependant d’un param` etre
8.4.1
Limites d’int´ egration constantes
Intuitivement. Pour d´ eriver une fonction F (t) =
b
a f(x, t) dx, on
« peut d´ eriver sous le signe int´ egral». Plus pr´ ecis´ ement :
Proposition (formule de Leibniz). Soit f et f t continues dans
le rectangle a x b, c t d. Alors, on a
d
dt
b
x=a
f(x, t) dx =
b
x=a
f t (x, t) dx
8.4.2
Limites d’int´ egration variables
Proposition. Supposons f et f t continues pour a x b et
c t d. Soient a(t) et b(t) d´ erivables sur [ c , d ]. Soit
F (t) =
b(t)
x=a(t)
f(x, t) dt
Alors, on a
dF
dt
=
b(t)
a(t)
f t (x, t) dt − f
a(t), t
· a
(t) + f
b(t), t
· b
(t)