134
Int´ egrales de fonctions de plusieurs variables
8.3.2
Coordonn´ ees curvilignes
Soit
x = x(u, v, w)
y = y(u, v, w)
z = z(u, v, w)
et le jacobien J =
∂(x, y, z)
∂(u, v, w)
=
x u x v x w
y u y v y w
z u z v z w
.
Alors :
Proposition. I =
D
f dx dy dz =
D
f · |J| · du dv dw
o` u dV = |J| du dv dw est l’´ el´ ement de volume.
Deux cas particuliers
(1) Coordonn´ ees cylindriques : elles sont d´ efinies par
x = ρ · cos ϕ
y = ρ · sin ϕ
z = z
et alors J = ρ et dV = ρ dρ dϕ dz d’o` u
I =
f · ρ dρ dϕ dz
z
y
x
z
y
x
ϕ
ρ
Int´ egrales de fonctions de plusieurs variables
8.3.2
Coordonn´ ees curvilignes
Soit
x = x(u, v, w)
y = y(u, v, w)
z = z(u, v, w)
et le jacobien J =
∂(x, y, z)
∂(u, v, w)
=
x u x v x w
y u y v y w
z u z v z w
.
Alors :
Proposition. I =
D
f dx dy dz =
D
f · |J| · du dv dw
o` u dV = |J| du dv dw est l’´ el´ ement de volume.
Deux cas particuliers
(1) Coordonn´ ees cylindriques : elles sont d´ efinies par
x = ρ · cos ϕ
y = ρ · sin ϕ
z = z
et alors J = ρ et dV = ρ dρ dϕ dz d’o` u
I =
f · ρ dρ dϕ dz
z
y
x
z
y
x
ϕ
ρ