Int´ egrales triples
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8.2.2
Int´ egrales doubles en coordonn´ ees curvilignes
Soit
x = x(u, v)
y = y(u, v)
un changement de coordonn´ ees dans le plan.
Le jacobien sera not´ e J(u, v) ou simplement J. Une fonction f(x, y)
donne lieu `
a une fonction compos´ ee f
x(u, v) , y(u, v)
qui sera simplement not´ ee f(u, v) ou f. Avec ces notations, nous avons :
Proposition.
D
f dx dy =
D
f · |J| · du dv.
Cas particulier
Coordonn´ ees polaires :
D
f dx dy =
D
f · ρ dρ dϕ.
8.3 Int´ egrales triples
Les m´ ethodes pour calculer les int´ egrales triples sont analogues `
a
celles d´ evelopp´ ees pour les int´ egrales doubles.
8.3.1
Coordonn´ ees cart´ esiennes
Pour des domaines convexes, on trouve :
I =
D
f(x, y, z) dx dy dz
=
z 2
z=z 1
y 2 (z)
y=y 1 (z)
x 2 (y,z)
x=x 1 (y,z)
f(x, y, z) dx dy dz
Cas particulier : volumes
V =
dx dy dz =
dV
o` u dV = dx dy dz est l’´ el´ ement de volume.