Int´ egrales doubles
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8.1.2
Int´ egrales doubles en g´ en´ eral
D´ efinition provisoire
Somme de Riemann : S n,m =
m
j=1
n
i=1 f(p ij ) · ∆x ∆y.
Si la limite existe, on l’appelle int´ egrale double de f sur le domaine D :
D
f dx dy = lim
n→∞
m→∞
S n,m
y
x
∆y
∆x
p ij
n sous-intervalles
m sous-intervales
D
D´ efinition g´ en´ erale
La d´ efinition donn´ ee ci-dessus est suffisante, si l’on admet que
f(x, y) est continue et que la courbe d´ elimitant le domaine d’int´ egration D est continˆ ument d´ erivable par morceaux. Ces conditions sont
souvent satisfaites dans les applications.
Pour connaˆ ıtre les limites de la validit´ e de la notion d’int´ egrale
double, il serait n´ ecessaire d’´ etudier la th´ eorie de la mesure.
Trois propri´ et´ es des int´ egrales doubles
(1) Lin´ earit´ e :
D
(λf + µg) dS = λ
D
f dS + µ
D
g dS.
(2) Additivit´ e :
D 1 ∪D 2
f dS =
D 1
f dS +
D 2
f dS si D 1 ∩ D 2 = ∅.