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Calcul diff´ erentiel de fonctions de plusieurs variables
Proposition. Soient f(x, y) et g(x, y) d´ erivables.
Si le point (a, b) n’est pas un point stationnaire de g, alors les
deux conditions suivantes sont ´
equivalentes :
(1) La fonction f(x, y) est stationnaire au point (a, b) avec la
contrainte g(x, y) = 0.
(2) Pour une certaine valeur de λ, la fonction de Lagrange
F (x, y, λ) = f(x, y) − λg(x, y)
est stationnaire au point (a, b, λ).
Cette proposition permet de formuler la «recette» suivante :
• D´ efinir la fonction de Lagrange F (x, y, λ) = f(x, y) − λg(x, y).
• Trouver les points (x, y, λ) o` u F est stationnaire, en posant F x =
F y = F λ = 0; puis «oublier» λ.
• V´ erifier si aux points (x, y) trouv´ es, g(x, y) n’est pas stationnaire.
7.6.2
G´ en´ eralisations
(a) n variables
Pour trouver les valeurs stationnaires de f(x 1 , x 2 , . . . , x n ) avec
la contrainte g(x 1 , x 2 , . . . , x n ) = 0, on introduit la fonction de
Lagrange :
F (x 1 , . . . , x n , λ) = f(x 1 , . . . , x n ) − λg(x 1 , . . . , x n )
Les solutions du probl` eme pos´ e sont alors trouv´ ees en cherchant
les valeurs stationnaires de F :
F x 1 = F x 2 = . . . = F x n = F λ = 0
(b) Plusieurs contraintes (n − 1 contraintes au plus, pour n variables)
Les valeurs stationnaires de f(x, y, z) avec les deux contraintes
g 1 (x, y, z) = 0 et g 2 (x, y, z) = 0, par exemple, se trouvent en cherchant les valeurs stationnaires de la fonction de Lagrange suivante :
F (x, y, z, λ, µ) = f(x, y, z) − λg 1 (x, y, z) − µg 2 (x, y, z)
Calcul diff´ erentiel de fonctions de plusieurs variables
Proposition. Soient f(x, y) et g(x, y) d´ erivables.
Si le point (a, b) n’est pas un point stationnaire de g, alors les
deux conditions suivantes sont ´
equivalentes :
(1) La fonction f(x, y) est stationnaire au point (a, b) avec la
contrainte g(x, y) = 0.
(2) Pour une certaine valeur de λ, la fonction de Lagrange
F (x, y, λ) = f(x, y) − λg(x, y)
est stationnaire au point (a, b, λ).
Cette proposition permet de formuler la «recette» suivante :
• D´ efinir la fonction de Lagrange F (x, y, λ) = f(x, y) − λg(x, y).
• Trouver les points (x, y, λ) o` u F est stationnaire, en posant F x =
F y = F λ = 0; puis «oublier» λ.
• V´ erifier si aux points (x, y) trouv´ es, g(x, y) n’est pas stationnaire.
7.6.2
G´ en´ eralisations
(a) n variables
Pour trouver les valeurs stationnaires de f(x 1 , x 2 , . . . , x n ) avec
la contrainte g(x 1 , x 2 , . . . , x n ) = 0, on introduit la fonction de
Lagrange :
F (x 1 , . . . , x n , λ) = f(x 1 , . . . , x n ) − λg(x 1 , . . . , x n )
Les solutions du probl` eme pos´ e sont alors trouv´ ees en cherchant
les valeurs stationnaires de F :
F x 1 = F x 2 = . . . = F x n = F λ = 0
(b) Plusieurs contraintes (n − 1 contraintes au plus, pour n variables)
Les valeurs stationnaires de f(x, y, z) avec les deux contraintes
g 1 (x, y, z) = 0 et g 2 (x, y, z) = 0, par exemple, se trouvent en cherchant les valeurs stationnaires de la fonction de Lagrange suivante :
F (x, y, z, λ, µ) = f(x, y, z) − λg 1 (x, y, z) − µg 2 (x, y, z)