Extrema li´ es (multiplicateurs de Lagrange)
125
sont suffisamment « r´ eguli` eres» pour que des questions de d´ erivabilit´ e n’interviennent pas. On peut alors d´ evelopper la fonction donn´ ee
` a l’aide de la formule de Taylor et ´ etudier essentiellement la forme
quadratique d´ efinie par les termes de degr´ e 2.
Soit f(x, y) trois fois continˆ ument d´ erivable.
Soit f x (a, b) = f y (a, b) = 0.
Posons : f xx (a, b) = r, f xy (a, b) = s, f yy (a, b) = t. Donc :
f(x, y) = f(a, b) +
1
2!
r · (x − a)
2 + 2s · (x − a)(y − b) + t · (y − b)
2
+ R 2
Posons :
∆ =
r s
s t
On a :
Proposition
Cas 1 Si ∆ > 0 et r > 0, alors f a un minimum (local) en (a, b).
Si ∆ > 0 et r < 0, alors f a un maximum (local) en (a, b).
Cas 2 Si ∆ < 0, alors f n’a ni un minimum ni un maximum en
(a, b).
La surface z = f(x, y) a (en deuxi` eme approximation) la
forme d’une selle (ou la forme d’un col) en ce point.
Cas 3 Si ∆ = 0 (cas d´ eg´ en´ er´ e) des investigations plus pouss´ ees
sont n´ ecessaires.
7.6 Extrema li´ es (multiplicateurs de Lagrange)
7.6.1
Valeurs stationnaires avec contraintes
Probl` eme. Trouver les valeurs stationnaires de f(x, y) avec la contrainte g(x, y) = 0 (on parle alors souvent d’«extrema li´ es»).
Solution. Nous ramenons la question `
a r´ esoudre `
a un probl` eme sans
contrainte.
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sont suffisamment « r´ eguli` eres» pour que des questions de d´ erivabilit´ e n’interviennent pas. On peut alors d´ evelopper la fonction donn´ ee
` a l’aide de la formule de Taylor et ´ etudier essentiellement la forme
quadratique d´ efinie par les termes de degr´ e 2.
Soit f(x, y) trois fois continˆ ument d´ erivable.
Soit f x (a, b) = f y (a, b) = 0.
Posons : f xx (a, b) = r, f xy (a, b) = s, f yy (a, b) = t. Donc :
f(x, y) = f(a, b) +
1
2!
r · (x − a)
2 + 2s · (x − a)(y − b) + t · (y − b)
2
+ R 2
Posons :
∆ =
r s
s t
On a :
Proposition
Cas 1 Si ∆ > 0 et r > 0, alors f a un minimum (local) en (a, b).
Si ∆ > 0 et r < 0, alors f a un maximum (local) en (a, b).
Cas 2 Si ∆ < 0, alors f n’a ni un minimum ni un maximum en
(a, b).
La surface z = f(x, y) a (en deuxi` eme approximation) la
forme d’une selle (ou la forme d’un col) en ce point.
Cas 3 Si ∆ = 0 (cas d´ eg´ en´ er´ e) des investigations plus pouss´ ees
sont n´ ecessaires.
7.6 Extrema li´ es (multiplicateurs de Lagrange)
7.6.1
Valeurs stationnaires avec contraintes
Probl` eme. Trouver les valeurs stationnaires de f(x, y) avec la contrainte g(x, y) = 0 (on parle alors souvent d’«extrema li´ es»).
Solution. Nous ramenons la question `
a r´ esoudre `
a un probl` eme sans
contrainte.