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Calcul diff´ erentiel de fonctions de plusieurs variables
7.5.2
R´ esolution des trois probl` emes
Extrema locaux
Proposition. Une fonction f(x, y) peut avoir des extrema
locaux :
• en des points o` u f est stationnaire;
• en des points o` u f n’est pas diff´ erentiable.
Pour trouver tous les extrema locaux, il convient d’´ etablir une liste
des points stationnaires et une liste des points o` u f n’est pas d´ erivable. Les points stationnaires seront examin´ es selon la m´ ethode donn´ ee
ci-apr` es. Pour l’´ etude des points o` u f n’est pas d´ erivable, il n’existe
pas de m´ ethode g´ en´ erale : on essayera de d´ eterminer, de cas en cas, s’il
s’agit d’un extremum local.
Extrema absolus
Proposition. Une fonction f(x, y) peut atteindre son maximum absolu (resp. son minimum absolu) :
• soit en des points o` u f est stationnaire,
• soit en des points o` u f n’est pas diff´ erentiable,
• soit sur le bord du domaine de d´ efinition.
On ´ etablira une liste des points o` u f est stationnaire et une liste
des points o` u f n’est pas d´ erivable. Puis on comparera les valeurs
respectives de f en ces points et on trouvera ainsi le maximum (resp.
le minimum) de f ` a l’int´ erieur du domaine de d´ efinition. Il faudra
encore faire une comparaison avec les valeurs que f prend sur le bord
du domaine.
Classification des valeurs stationnaires
La recherche des valeurs stationnaires se fait par la r´ esolution du
syst` eme d’´ equation f x = f y = 0.
Dans les applications, il s’agit souvent de trouver et de discuter
les valeurs stationnaires. La plupart du temps les fonctions impliqu´ ees
Calcul diff´ erentiel de fonctions de plusieurs variables
7.5.2
R´ esolution des trois probl` emes
Extrema locaux
Proposition. Une fonction f(x, y) peut avoir des extrema
locaux :
• en des points o` u f est stationnaire;
• en des points o` u f n’est pas diff´ erentiable.
Pour trouver tous les extrema locaux, il convient d’´ etablir une liste
des points stationnaires et une liste des points o` u f n’est pas d´ erivable. Les points stationnaires seront examin´ es selon la m´ ethode donn´ ee
ci-apr` es. Pour l’´ etude des points o` u f n’est pas d´ erivable, il n’existe
pas de m´ ethode g´ en´ erale : on essayera de d´ eterminer, de cas en cas, s’il
s’agit d’un extremum local.
Extrema absolus
Proposition. Une fonction f(x, y) peut atteindre son maximum absolu (resp. son minimum absolu) :
• soit en des points o` u f est stationnaire,
• soit en des points o` u f n’est pas diff´ erentiable,
• soit sur le bord du domaine de d´ efinition.
On ´ etablira une liste des points o` u f est stationnaire et une liste
des points o` u f n’est pas d´ erivable. Puis on comparera les valeurs
respectives de f en ces points et on trouvera ainsi le maximum (resp.
le minimum) de f ` a l’int´ erieur du domaine de d´ efinition. Il faudra
encore faire une comparaison avec les valeurs que f prend sur le bord
du domaine.
Classification des valeurs stationnaires
La recherche des valeurs stationnaires se fait par la r´ esolution du
syst` eme d’´ equation f x = f y = 0.
Dans les applications, il s’agit souvent de trouver et de discuter
les valeurs stationnaires. La plupart du temps les fonctions impliqu´ ees