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Calcul diff´ erentiel de fonctions de plusieurs variables
Proposition (formule de Taylor). On a
f(x, y) = f(a, b) + f x (a, b) · (x − a) + f y (a, b) · (y − b)
+
f xx (a, b)
2!
(x − a)
2 +
f xy (a, b)
1! 1!
(x − a)(y − b)
+
f yy (a, b)
2!
(y − b)
2 +
f xxx (a, b)
3!
(x − a)
3
+
f xxy (a, b)
2! 1!
(x − a)
2 (y − b) + · · ·
+ · · ·
+
n
k=0
f
k fois
x · · · x
n−k fois
y · · · y (a, b)
k! (n − k)!
(x − a)
k (y − b)
n−k + R n
o` u
R n =
n+1
k=0
f
k fois
x · · · x
n+1−k fois
y · · · y (ξ, η)
k! (n + 1 − k)!
(x − a)
k (y − b)
n+1−k
pour un certain point (ξ, η) sur le segment droit d´ elimit´ e par
(a, b) et (x, y).
7.5 Maxima et minima
7.5.1
Trois probl` emes ` a distinguer
Le vocabulaire au sujet des «maxima et minima » n’est pas totalement standardis´ e. Nous proposons de distinguer les trois probl` emes
suivants :