D´ eveloppement de Taylor
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Gradient et d´ eriv´ ee directionnelle
Proposition. D e f = f x · e 1 + f y · e 2 = grad f · e.
Interpr´ etation g´ eom´ etrique du gradient
En tout point P, grad f est orthogonal `
a la ligne de niveau de f
passant par P, c’est-` a-dire grad f pointe dans la direction de la plus
forte croissance de f. Sa longueur est ´
egale `
a la d´ eriv´ ee directionnelle;
elle mesure le «taux de croissance» de f (dans cette direction).
y
x
lignes de
niveau de f (x, y)
grad f
7.4 D´ eveloppement de Taylor
Formule de Taylor pour des fonctions de deux variables
On suppose que les d´ eriv´ ees de f(x, y), jusqu’` a l’ordre n+1, existent
et sont continues dans un domaine rectangulaire D comprenant le point
(a, b) et le point (x, y). Ces hypoth` eses impliquent la formule de Taylor.
y
x
(a, b)
(x, y)
(ξ, η)