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Calcul diff´ erentiel de fonctions de plusieurs variables
Calcul de la d´ eriv´ ee directionnelle
Proposition. Si f est diff´ erentiable en un point P(x, y), alors
D e f = f x · cos α + f y · cos β = f x · e 1 + f y · e 2
o` u e est le vecteur unitaire e = (cos α, cos β) = (e 1 , e 2 ).
y
x
e 2
e 1
P
e
α
β
7.3.2
Notion de « champ »
Souvent, certaines fonctions sont appel´ ees des champs. Sp´ ecialement en physique, les fonctions associant une valeur (scalaire, vectorielle, etc.) `
a tout point de l’espace (ou du plan) sont, en g´ en´ eral,
appel´ ees des « champs» (scalaires, vectoriels, etc.).
Un champ scalaire f(x, y) est donc la mˆ eme chose qu’une fonction
f(x, y).
Un champ vectoriel a (x, y) est une application qui associe un vecteur a (x, y) `
a tout point (x, y) du plan.
7.3.3
Gradient
D ´ efinition. Soit donn´ ee une fonction f(x, y).
Le champ vectoriel grad f = (f x , f y ) est appel´ e gradient de f.
Calcul diff´ erentiel de fonctions de plusieurs variables
Calcul de la d´ eriv´ ee directionnelle
Proposition. Si f est diff´ erentiable en un point P(x, y), alors
D e f = f x · cos α + f y · cos β = f x · e 1 + f y · e 2
o` u e est le vecteur unitaire e = (cos α, cos β) = (e 1 , e 2 ).
y
x
e 2
e 1
P
e
α
β
7.3.2
Notion de « champ »
Souvent, certaines fonctions sont appel´ ees des champs. Sp´ ecialement en physique, les fonctions associant une valeur (scalaire, vectorielle, etc.) `
a tout point de l’espace (ou du plan) sont, en g´ en´ eral,
appel´ ees des « champs» (scalaires, vectoriels, etc.).
Un champ scalaire f(x, y) est donc la mˆ eme chose qu’une fonction
f(x, y).
Un champ vectoriel a (x, y) est une application qui associe un vecteur a (x, y) `
a tout point (x, y) du plan.
7.3.3
Gradient
D ´ efinition. Soit donn´ ee une fonction f(x, y).
Le champ vectoriel grad f = (f x , f y ) est appel´ e gradient de f.