118
Calcul diff´ erentiel de fonctions de plusieurs variables
Trois et plusieurs variables (exemple)
Proposition. Soit f(x, y, z) et



x = x(u, v)
y = y(u, v)
z = z(u, v) .
Alors
∂f
∂u
=
∂f
∂x
·
∂x
∂u
+
∂f
∂y
·
∂y
∂u
+
∂f
∂z
·
∂z
∂u
∂f
∂v
=
∂f
∂x
·
∂x
∂v
+
∂f
∂y
·
∂y
∂v
+
∂f
∂z
·
∂z
∂v
Cas particulier (exemple)
Proposition. Soit f(x) o` u x = (u, v). Alors
∂f
∂u
=
df
dx
·
∂x
∂u
et
∂f
∂v
=
df
dx
·
∂x
∂v
7.2.3
D´ eriv´ ees de fonctions implicites
La notion de fonction implicite
Soit F (x, y) une fonction de deux variables. Sous certaines conditions, l’´ equation F (x, y) = 0 d´ efinit une (ou plusieurs) «fonctions
implicites» y = ϕ(x), c’est-` a-dire des fonctions satisfaisant `
a l’identit´ e
F
x, ϕ(x)
≡ 0.
On dit alors aussi que ϕ est d´ efini sous forme implicite ou que F
d´ efinit ϕ sous forme implicite.
Calcul de la d´ eriv´ ee d’une fonction implicite
Proposition. Si F est continˆ ument d´ erivable et si l’´ equation
F (x, y) = 0 d´ efinit une fonction implicite y = y(x) (continˆ ument d´ erivable), alors
dy
dx
= −
F x
F y