D´ eriv´ ees de fonctions compos´ ees
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La restriction de f sur C, f C , peut alors ˆ etre consid´ er´ ee comme
fonction de t : f C (t).
La d´ eriv´ ee df C /dt est la d´ eriv´ ee totale df/dt; on dit aussi qu’on
d´ erive f(x, y) « le long de la courbe C ».
Trois et plusieurs variables
Proposition. Soit f(x, y, z), avec x = x(t), y = y(t) et z =
z(t). Alors
df
dt
= f x ·
dx
dt
+ f y ·
dy
dt
+ f z ·
dz
dt
Cas particulier (exemple)
Proposition. Soit f = f
x(t), y(t), z(t), t
. Alors
df
dt
=
∂f
∂x
·
dx
dt
+
∂f
∂y
·
dy
dt
+
∂f
∂z
·
dz
dt
+
∂f
∂t
7.2.2
D´ eriv´ ees partielles de fonctions compos´ ees
Soit f(x, y) et
x = x(u, v)
y = y(u, v) .
On notera : f = f(u, v) = f
x(u, v) , y(u, v)
. Alors :
Proposition
∂f
∂u
=
∂f
∂x
·
∂x
∂u
+
∂f
∂y
·
∂y
∂u
∂f
∂v
=
∂f
∂x
·
∂x
∂v
+
∂f
∂y
·
∂y
∂v