116
Calcul diff´ erentiel de fonctions de plusieurs variables
7.1.6
Commutativit´ e des d´ eriv´ ees partielles
(th´ eor` eme de H. A. Schwarz)
Th ´ eor ` eme. Si f x , f y , f xy et f yx existent et sont continues
dans un voisinage d’un point, alors f xy = f yx en ce point.
7.2 D´ eriv´ ees de fonctions compos´ ees
7.2.1
D´ eriv´ ee totale (ou d´ eriv´ ee le long d’une courbe)
Soit f(x, y) une fonction de deux variables et soient x = x(t) et
y = y(t) deux fonctions de t.
Nous ´ etudions ici la fonction compos´ ee f
x(t), y(t)
.
Notation. Par la suite, la fonction compos´ ee f
x(t), y(t)
sera en g´ en´ eral not´ ee simplement f(t) ou f. (Elle est une fonction de la seule
variable t.)
D ´ efinition. Si elle existe, la d´ eriv´ ee (par rapport `
a t) de la
fonction compos´ ee f
x(t), y(t)
sera appel´ ee la d´ eriv´ ee totale de
f par rapport `
a t (et sera not´ ee df/dt).
Proposition.
df
dt
=
∂f
∂x
·
dx
dt
+
∂f
∂y
·
dy
dt
.
G´ eom´ etriquement : Soit donn´ e : une fonction f(x, y) dans le plan
(x, y), une courbe param´ etr´ ee C :
x = x(t)
y = y(t) .
y
x
C