Fonctions diff´ erentiables, d´ eriv´ ees partielles
115
7.1.4
Diff´ erentielles totales
L’expression df = f x dx + f y dy sera appel´ ee diff´ erentielle totale
de f.
Interpr´ etation historique. dx et dy sont des accroissements «infinit´ esimaux» des variables et df est l’accroissement correspondant de f.
Une interpr´ etation correcte. df est l’accroissement de l’approximation d’ordre 1 lors d’accroissements dx et dy des variables.
Dans les applications, df est souvent interpr´ et´ ee comme l’accroissement approximatif de f lors de « petits» accroissements dx et dy des
variables. Cette mˆ eme situation peut ˆ
etre exprim´ ee, de mani` ere plus
correcte, en ´
ecrivant :
∆f ≈ f x · ∆x + f y · ∆y
7.1.5
Application : propagation d’erreurs de mesure
Des valeurs x, y, z sont mesur´ ees avec certaines impr´ ecisions : ±∆x,
±∆y, ±∆z. Une valeur f(x, y, z) est alors calcul´ ee. Quelle est l’erreur
possible de f ?
Une m´ ethode simple et souvent suffisante consiste `
a estimer l’erreur
en rempla¸ cant f par son approximation lin´ eaire. On a
|∆f| = |f x ∆x + f y ∆y + f z ∆z|
|f x | · |∆x| + |f y | · |∆y| + |f z | · |∆z|
erreur absolue maximale
et
∆f
f
≈
f x ∆x + f y ∆y + f z ∆z
f
f x
f
· |∆x| +
f y
f
· |∆y| +
f z
f
· |∆z|
erreur relative maximale
=
∂
∂x
ln |f|
· |∆x| +
∂
∂y
ln |f|
· |∆y| +
∂
∂z
ln |f|
· |∆z|