114
Calcul diff´ erentiel de fonctions de plusieurs variables
7.1.3
Fonctions diff´ erentiables et d´ eriv´ ees partielles
Existence et signification des d´ eriv´ ees partielles
Proposition. Si f(x, y) est diff´ erentiable au point (x 0 , y 0 ),
alors
(1) les d´ eriv´ ees partielles f x et f y existent, et
(2) f x et f y sont les coefficients des termes lin´ eaires de la fonction approchant f, c’est-` a-dire
f(x, y) = f(x 0 , y 0 ) + f x (x 0 , y 0 ) · (x − x 0 )
+ f y (x 0 , y 0 ) · (y − y 0 ) + r(x, y)
Approximation d’ordre 1
D ´ efinition. La fonction
f 1 (x, y) = f(x 0 , y 0 ) + f x (x 0 , y 0 ) · (x − x 0 ) + f y (x 0 , y 0 ) · (y − y 0 )
sera appel´ ee approximation d’ordre 1 de la fonction f(x, y) dans
un voisinage de (x 0 , y 0 ).
G´ eom´ etriquement : z = f 1 (x, y) est l’´ equation du plan tangent de
la surface z = f(x, y) (au point (x 0 , y 0 , f(x 0 , y 0 ))).
z
y
x
B(x 0 , y 0 , f (x 0 , y 0 ))
A(x 0 , y 0 , 0)