Table des mati` eres
xv
9.3 Diff´ erentielles totales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
9.3.1 Formes diff´ erentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
9.3.2 Int´ egration des formes diff´ erentielles . . . . . . . . . . . . 146
9.3.3 Analogies entre champs vectoriels et
formes diff´ erentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
Chapitre 10 EXEMPLES D’ ´
EQUATIONS
DIFF ´
ERENTIELLES D’ORDRE 1
10.1 Croissance exponentielle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
10.2 Equations ` a variables s´ epar´ ees, changement de
variables, ´ equations homog` enes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
10.2.1 Equations ` a variables s´ epar´ ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
10.2.2 Changement de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
10.2.3 Equations homog` enes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
10.3 Equation aux diff´ erentielles totales, facteur int´ egrant. . . 153
10.3.1 Equation diff´ erentielle des lignes de niveau . . . . . . 153
10.3.2 Int´ egration des ´
equations aux
diff´ erentielles totales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
10.3.3 Facteur int´ egrant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
10.4 Familles de courbes, enveloppes, ´
equation de Clairaut . . 154
10.4.1 Famille de courbes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
10.4.2 Enveloppes d’une famille de courbes . . . . . . . . . . . . 155
10.4.3 Equation de Clairaut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
10.5 Existence et unicit´ e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
10.5.1 Th´ eor` eme d’existence et d’unicit´ e . . . . . . . . . . . . . . . 156
10.5.2 Approximation successive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
Chapitre 11 EQUATIONS DIFF ´
ERENTIELLES
LIN ´
EAIRES `
A COEFFICIENTS CONSTANTS
11.1 L’´ equation y + ay = f(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
11.1.1 L’´ equation homog` ene y + ay = 0 . . . . . . . . . . . . . . . 159
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9.3 Diff´ erentielles totales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
9.3.1 Formes diff´ erentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
9.3.2 Int´ egration des formes diff´ erentielles . . . . . . . . . . . . 146
9.3.3 Analogies entre champs vectoriels et
formes diff´ erentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
Chapitre 10 EXEMPLES D’ ´
EQUATIONS
DIFF ´
ERENTIELLES D’ORDRE 1
10.1 Croissance exponentielle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
10.2 Equations ` a variables s´ epar´ ees, changement de
variables, ´ equations homog` enes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
10.2.1 Equations ` a variables s´ epar´ ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
10.2.2 Changement de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
10.2.3 Equations homog` enes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
10.3 Equation aux diff´ erentielles totales, facteur int´ egrant. . . 153
10.3.1 Equation diff´ erentielle des lignes de niveau . . . . . . 153
10.3.2 Int´ egration des ´
equations aux
diff´ erentielles totales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
10.3.3 Facteur int´ egrant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
10.4 Familles de courbes, enveloppes, ´
equation de Clairaut . . 154
10.4.1 Famille de courbes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
10.4.2 Enveloppes d’une famille de courbes . . . . . . . . . . . . 155
10.4.3 Equation de Clairaut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
10.5 Existence et unicit´ e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
10.5.1 Th´ eor` eme d’existence et d’unicit´ e . . . . . . . . . . . . . . . 156
10.5.2 Approximation successive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
Chapitre 11 EQUATIONS DIFF ´
ERENTIELLES
LIN ´
EAIRES `
A COEFFICIENTS CONSTANTS
11.1 L’´ equation y + ay = f(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
11.1.1 L’´ equation homog` ene y + ay = 0 . . . . . . . . . . . . . . . 159