xiv
Physique g´ en´ erale
Chapitre 8 INT ´
EGRALES DE FONCTIONS DE
PLUSIEURS VARIABLES
8.1 Int´ egrales doubles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
8.1.1 Calcul de certains volumes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
8.1.2 Int´ egrales doubles en g´ en´ eral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
8.2 Changement de variables dans une int´ egrale double . . . . 132
8.2.1 Jacobien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
8.2.2 Int´ egrales doubles en coordonn´ ees curvilignes. . . . 133
8.3 Int´ egrales triples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
8.3.1 Coordonn´ ees cart´ esiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
8.3.2 Coordonn´ ees curvilignes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
8.3.3 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
8.3.4 Formule de Steiner-Huygens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
8.4 Int´ egrales d´ ependant d’un param` etre . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
8.4.1 Limites d’int´ egration constantes. . . . . . . . . . . . . . . . . 137
8.4.2 Limites d’int´ egration variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
Chapitre 9 CHAMPS VECTORIELS PLANS ET
POTENTIELS
9.1 Int´ egrales curvilignes planes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
9.1.1 D´ efinition des int´ egrales curvilignes . . . . . . . . . . . . . 139
9.1.2 Calcul des int´ egrales curvilignes en
coordonn´ ees cart´ esiennes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
9.1.3 Existence de l’int´ egrale curviligne . . . . . . . . . . . . . . . 141
9.1.4 Exemples d’int´ egrales curvilignes. . . . . . . . . . . . . . . . 141
9.1.5 Ind´ ependance de la param´ etrisation . . . . . . . . . . . . . 142
9.1.6 R` egles de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
9.1.7 Formule de Riemann-Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
9.2 Gradient et potentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
9.2.2 Recherche du potentiel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
Physique g´ en´ erale
Chapitre 8 INT ´
EGRALES DE FONCTIONS DE
PLUSIEURS VARIABLES
8.1 Int´ egrales doubles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
8.1.1 Calcul de certains volumes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
8.1.2 Int´ egrales doubles en g´ en´ eral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
8.2 Changement de variables dans une int´ egrale double . . . . 132
8.2.1 Jacobien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
8.2.2 Int´ egrales doubles en coordonn´ ees curvilignes. . . . 133
8.3 Int´ egrales triples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
8.3.1 Coordonn´ ees cart´ esiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
8.3.2 Coordonn´ ees curvilignes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
8.3.3 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
8.3.4 Formule de Steiner-Huygens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
8.4 Int´ egrales d´ ependant d’un param` etre . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
8.4.1 Limites d’int´ egration constantes. . . . . . . . . . . . . . . . . 137
8.4.2 Limites d’int´ egration variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
Chapitre 9 CHAMPS VECTORIELS PLANS ET
POTENTIELS
9.1 Int´ egrales curvilignes planes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
9.1.1 D´ efinition des int´ egrales curvilignes . . . . . . . . . . . . . 139
9.1.2 Calcul des int´ egrales curvilignes en
coordonn´ ees cart´ esiennes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
9.1.3 Existence de l’int´ egrale curviligne . . . . . . . . . . . . . . . 141
9.1.4 Exemples d’int´ egrales curvilignes. . . . . . . . . . . . . . . . 141
9.1.5 Ind´ ependance de la param´ etrisation . . . . . . . . . . . . . 142
9.1.6 R` egles de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
9.1.7 Formule de Riemann-Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
9.2 Gradient et potentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
9.2.2 Recherche du potentiel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145