Table des mati` eres
xiii
Chapitre 7 CALCUL DIFF ´
ERENTIEL DE FONCTIONS
DE PLUSIEURS VARIABLES
7.1 Fonctions diff´ erentiables, d´ eriv´ ees partielles . . . . . . . . . . . . 111
7.1.1 Fonctions diff´ erentiables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
7.1.2 D´ eriv´ ees partielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
7.1.3 Fonctions diff´ erentiables et d´ eriv´ ees partielles . . . 114
7.1.4 Diff´ erentielles totales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
7.1.5 Application : propagation d’erreurs de mesure . . . 115
7.1.6 Commutativit´ e des d´ eriv´ ees partielles . . . . . . . . . . . 116
7.2 D´ eriv´ ees de fonctions compos´ ees. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
7.2.1 D´ eriv´ ee totale (ou d´ eriv´ ee le long d’une courbe) . 116
7.2.2 D´ eriv´ ees partielles de fonctions compos´ ees. . . . . . . 117
7.2.3 D´ eriv´ ees de fonctions implicites . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
7.3 D´ eriv´ ee directionnelle, gradient. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
7.3.1 D´ eriv´ ee suivant une direction donn´ ee
(d´ eriv´ ee directionnelle). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
7.3.2 Notion de «champ». . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
7.3.3 Gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
7.4 D´ eveloppement de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
7.5 Maxima et minima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
7.5.1 Trois probl` emes `
a distinguer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
7.5.2 R´ esolution des trois probl` emes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
7.6 Extrema li´ es (multiplicateurs de Lagrange) . . . . . . . . . . . . 125
7.6.1 Valeurs stationnaires avec contraintes . . . . . . . . . . . 125
7.6.2 G´ en´ eralisations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126