xii
Physique g´ en´ erale
5.1.3 Convergence absolue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
5.1.4 S´ eries complexes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
5.2 S´ eries `
a termes positifs, crit` eres de convergence. . . . . . . . . 90
5.2.1 Tests de d’Alembert et de Cauchy
(test du quotient et test de la racine n i` eme ). . . . . . . 91
5.2.2 Cas particulier des tests de d’Alembert
et de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
5.2.3 Comparaison avec une int´ egrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
5.3 Suite de fonctions, s´ eries de fonctions,
convergences simple et uniforme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
5.3.1 Suites de fonctions r´ eelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
5.3.2 S´ eries de fonctions r´ eelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
Chapitre 6 S ´
ERIES DE TAYLOR
6.1 Approximations locales par des polynˆ omes . . . . . . . . . . . . . . 97
6.2 Formule de Taylor .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
6.2.1 Pr´ ecision de l’approximation lin´ eaire . . . . . . . . . . . . . 99
6.2.2 Une autre d´ efinition de la d´ eriv´ ee . . . . . . . . . . . . . . . 100
6.2.3 Pr´ ecision de l’approximation d’ordre n . . . . . . . . . . 101
6.3 S´ eries de Taylor .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
6.3.1 La notion de s´ erie de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
6.3.2 Exemples de fonctions enti` eres . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
6.4 Domaine de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
6.4.1 Convergence des s´ eries enti` eres. . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
6.4.2 Calcul du rayon de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
6.4.3 Convergence et singularit´ es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
6.5 Op´ erations ´ el´ ementaires sur les s´ eries enti` eres. . . . . . . . . . 107
6.6 Int´ egration et d´ erivation des s´ eries enti` eres . . . . . . . . . . . . 110
Physique g´ en´ erale
5.1.3 Convergence absolue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
5.1.4 S´ eries complexes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
5.2 S´ eries `
a termes positifs, crit` eres de convergence. . . . . . . . . 90
5.2.1 Tests de d’Alembert et de Cauchy
(test du quotient et test de la racine n i` eme ). . . . . . . 91
5.2.2 Cas particulier des tests de d’Alembert
et de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
5.2.3 Comparaison avec une int´ egrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
5.3 Suite de fonctions, s´ eries de fonctions,
convergences simple et uniforme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
5.3.1 Suites de fonctions r´ eelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
5.3.2 S´ eries de fonctions r´ eelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
Chapitre 6 S ´
ERIES DE TAYLOR
6.1 Approximations locales par des polynˆ omes . . . . . . . . . . . . . . 97
6.2 Formule de Taylor .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
6.2.1 Pr´ ecision de l’approximation lin´ eaire . . . . . . . . . . . . . 99
6.2.2 Une autre d´ efinition de la d´ eriv´ ee . . . . . . . . . . . . . . . 100
6.2.3 Pr´ ecision de l’approximation d’ordre n . . . . . . . . . . 101
6.3 S´ eries de Taylor .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
6.3.1 La notion de s´ erie de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
6.3.2 Exemples de fonctions enti` eres . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
6.4 Domaine de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
6.4.1 Convergence des s´ eries enti` eres. . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
6.4.2 Calcul du rayon de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
6.4.3 Convergence et singularit´ es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
6.5 Op´ erations ´ el´ ementaires sur les s´ eries enti` eres. . . . . . . . . . 107
6.6 Int´ egration et d´ erivation des s´ eries enti` eres . . . . . . . . . . . . 110