Chapitre 7
Calcul diff´ erentiel de fonctions
de plusieurs variables
7.1 Fonctions diff´ erentiables, d´ eriv´ ees partielles
7.1.1
Fonctions diff´ erentiables
D´ efinition intuitive. f(x, y) est appel´ ee diff´ erentiable (ou d´ erivable)
en un point (x 0 , y 0 ) si elle peut ˆ
etre approch´ ee (dans un voisinage de
(x 0 , y 0 )) par une fonction lin´ eaire (affine). Plus pr´ ecis´ ement :
D ´ efinition. f(x, y) est appel´ ee diff´ erentiable en un point A =
(x 0 , y 0 ) s’il existe une fonction , lin´ eaire en (x−x 0 ) et en (y−y 0 )
(c’est-` a-dire : = a(x − x 0 ) + b(y − y 0 )), telle que
f(x, y) = f(x 0 , y 0 ) + a(x − x 0 ) + b(y − y 0 )
+ r(x, y)
reste
o` u lim
X→A
r(X)
d(A, X)
= 0, X = (x, y).
Continuit´ e des fonctions diff´ erentiables
Proposition. Soit f(x, y) diff´ erentiable au point (x 0 , y 0 );
alors f est continue en ce point.