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S´ eries de Taylor
6.6 Int´ egration et d´ erivation des s´ eries enti` eres
On peut int´ egrer et d´ eriver une s´ erie enti` ere terme par terme. Plus
pr´ ecis´ ement :
Proposition
(1) Si f(x) = c 0 + c 1 x + c 2 x 2 + · · · pour |x| < ρ, alors
F (x) = c 0 x + c 1
x 2
2
+ c 2
x 3
3
+ · · · converge aussi pour |x| < ρ
et F (x) = f(x).
(2) Si f(x) = c 0 + c 1 x + c 2 x 2 + c 3 x 3 + · · · pour |x| < ρ, alors
f
(x) = c 1 + 2c 2 x + 3c 3 x
2 + · · · pour |x| < ρ
Corollaire. Toute fonction d´ efinie par une s´ erie enti` ere est infiniment d´ erivable (` a l’int´ erieur de l’intervalle de convergence). Les d´ eriv´ ees peuvent ˆ
etre obtenues en d´ erivant la s´ erie terme par terme.
La «formule g´ en´ erale du binˆ ome»
Les coefficients binomiaux sont
n entier :
n
k
=
n!
k! (n − k)!
=
k facteurs
n · (n − 1) · · · (n − k + 1)
k!
,
α r´ eel :
α
k
=
k facteurs
α · (α − 1) · · · (α − k + 1)
k!
.
Proposition (formule g´ en´ erale du binˆ ome). On a
(1+x)
α = 1+
α
1
x+
α
2
x
2 +· · ·+
α
k
x
k +· · · pour |x| < 1