Op´ erations ´
el´ ementaires sur les s´ eries enti` eres
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L’´ equation h = f/g ´ equivaut `
a f = g · h; d’o` u
a 0 + a 1 x + a 2 x
2 + · · ·
= (b 0 + b 1 x + b 2 x
2 + · · ·) · (c 0 + c 1 x + c 2 x
2 + · · ·)
En effectuant le produit `
a droite et en comparant les coefficients des
premier et second membres, on obtient le syst` eme d’´ equations :
a 0 = b 0 · c 0
a 1 = b 0 · c 1 + b 1 · c 0
a 2 = b 0 · c 2 + b 1 · c 1 + b 2 · c 0
a 3 = b 0 · c 3 + b 1 · c 2 + b 2 · c 1 + b 3 · c 0
. . .
On peut maintenant calculer successivement c 0 , c 1 , c 2 , etc.
Convergence d’une s´ erie de Taylor d’une fonction r´ eelle
Si une fonction r´ eelle f(x) peut ˆ
etre consid´ er´ ee comme la restriction
(sur R) d’une fonction complexe f(z), il est souvent facile de trouver
l’intervalle de convergence d’une s´ erie de Taylor de f(x), en cherchant
d’abord le cercle de convergence de la fonction f(z); sur la figure cidessous c est le centre de d´ eveloppement, I l’intervalle de convergence
de la s´ erie de Taylor de la fonction r´ eelle f(x) et D est le domaine de
convergence de la s´ erie de Taylor de la fonction complexe f(z).
c
i
1
D
I