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S´ eries de Taylor
Multiplication de deux s´ eries enti` eres
Deux s´ eries enti` eres peuvent ˆ
etre multipli´ ees «comme des polynˆ omes». De fa¸ con pr´ ecise :
Proposition. Si f(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + · · · pour |x| < ρ 1
et g(x) = b 0 + b 1 x + b 2 x 2 + · · · pour |x| < ρ 2 , alors
f(x) · g(x) = c 0 + c 1 x + c 2 x
2 + · · ·
pour |x| < ρ
o` u ρ min(ρ 1 , ρ 2 ) et o` u
c 0 = a 0 b 0
c 1 = a 0 b 1 + a 1 b 0
c 2 = a 0 b 2 + a 1 b 1 + a 2 b 0
c 3 = a 0 b 3 + a 1 b 2 + a 2 b 1 + a 3 b 0
. . .
c n = a 0 b n + a 1 b n−1 + · · · + a a−1 b 1 + a n b 0
. . .
Quotient de deux s´ eries enti` eres
Probl` eme
Soit
f(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x
2 + · · ·
g(x) = b 0 + b 1 x + b 2 x
2 + · · ·
(b 0 = 0).
Trouver : h(x) =
f(x)
g(x)
= c 0 + c 1 x + c 2 x
2 + · · ·
Solution. On trouve les inconnues c i par la «m´ ethode des coefficients
ind´ etermin´ es» :