Op´ erations ´
el´ ementaires sur les s´ eries enti` eres
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Autres formulations
• Le disque de convergence ne contient aucune singularit´ e dans son
int´ erieur mais (au moins) une sur sa circonf´ erence.
• Le rayon de convergence est la distance entre le centre du d´ eveloppement et la singularit´ e la plus proche.
6.5 Op´ erations ´ el´ ementaires sur les s´ eries enti` eres
Dans la suite, on ´ etudiera des s´ eries de puissance de x. Pour des
s´ eries de puissances de (x − a), les r´ esultats seront analogues.
Addition, soustraction
Deux s´ eries enti` eres peuvent ˆ
etre additionn´ ees ou soustraites terme
par terme. De fa¸ con pr´ ecise :
Proposition. Si f(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + · · · pour |x| < ρ 1
et g(x) = b 0 + b 1 x + b 2 x 2 + · · · pour |x| < ρ 2 , alors
f(x) ± g(x) = a 0 ± b 0 + (a 1 ± b 1 )x + (a 2 ± b 2 )x
2 + · · ·
pour |x| < ρ, o` u ρ min(ρ 1 , ρ 2 ).
Multiplication par un nombre
Proposition. Si f(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 + · · · pour
|x| < ρ, alors
λf(x) = λa 0 + λa 1 x + λa 2 x
2 + · · ·
pour |x| < ρ