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S´ eries de Taylor
6.4.2
Calcul du rayon de convergence
Proposition. Si l’une ou l’autre des limites ci-dessous existe,
le rayon de convergence d’une s´ erie a 0 +a 1 (x−c)+a 2 (x−c) 2 +· · ·
peut ˆ
etre calcul´ e `
a l’aide des formules :
ρ =
1
lim n→∞
a n+1 /a n
= lim
n→∞
a n
a n+1
ρ =
1
lim n→∞
n
|a n |
Formule d’Hadamard
Proposition. ρ =
1
lim sup n→∞
n
|a n |
.
6.4.3
Convergence et singularit´ es
Domaine de convergence d’une s´ erie de Taylor
d’une fonction complexe
Proposition. Soit f(z) une fonction pouvant ˆ
etre d´ evelopp´ ee
en s´ erie de Taylor complexe autour de c (rayon de convergence
ρ = 0). Alors le disque de convergence est le plus grand disque
ouvert, de centre c, ne contenant pas de singularit´ es de f.
Si f n’a pas de singularit´ e (pour z fini), sa s´ erie de Taylor converge dans tout le plan complexe, f est alors une fonction enti` ere.
ρ
c
i
1
∗
∗
∗
∗
singularit´ es