Domaine de convergence
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(1) Convergence `
a l’int´ erieur d’un disque D de centre z = c; divergence
` a l’ext´ erieur. Le rayon ρ du disque est appel´ e rayon de convergence.
ρ
c
D
cercle de
convergence
i
1
(Aucun ´
enonc´ e g´ en´ eral n’est possible pour l’´ eventuelle convergence
ou divergence de la s´ erie sur le bord du disque.)
(2) Convergence pour z = c seulement. On dit alors aussi que «le rayon
de convergence est nul» (ρ = 0).
(3) Convergence pour tout z ∈ D. On dit alors aussi que « le rayon de
convergence est infini».
Remarque. La s´ erie converge mˆ eme absolument `
a l’int´ erieur du cercle
de convergence. Elle converge uniform´ ement dans tout disque ferm´ e
contenu `
a l’int´ erieur du cercle de convergence.
S´ eries enti` ere r´ eelles
Proposition. La s´ erie a 0 +a 1 (x−c)+a 2 (x−c) 2 +· · · converge
` a l’int´ erieur d’un intervalle sym´ etrique autour de c. Elle diverge
` a l’ext´ erieur de cet intervalle. (Un ´
enonc´ e g´ en´ eral concernant
l’´ eventuelle convergence ou divergence sur les points limites de
l’intervalle n’est pas possible.)
c − ρ
c
c + ρ
Trois cas sont possibles :
(1) ρ = 0, convergence pour x = c seulement.
(2) ρ fini.
(3) ρ = ∞, convergence pour tout x r´ eel.