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S´ eries de Taylor
Fonction exponentielle complexe
La d´ efinition donn´ ee ci-dessous est une des d´ efinitions possibles. La
s´ erie converge (mˆ eme absolument) pour tout z.
D ´ efinition. La fonction exponentielle complexe est d´ efinie
par la s´ erie
e
z d´ ef
= 1 +
z
1!
+
z 2
2!
+
z 3
3!
+ · · · , pour tout z complexe
Remarque. Les fonctions cos, sin, ch et sh peuvent ˆ
etre d´ efinies d’une
mani` ere analogue pour des valeurs complexes de la variable.
Une d´ emonstration des formules d’Euler
Soit y r´ eel.
e
iy = 1 + iy +
(iy) 2
2!
+
(iy) 3
3!
+
(iy) 4
4!
+
(iy) 5
5!
+
(iy) 6
6!
+
(iy) 7
7!
+ · · ·
=
1 −
y 2
2!
+
y 4
4!
−
y 6
6!
+ · · ·
+ i
y −
y 3
3!
+
y 5
5!
− · · ·
= cos y + i sin y
6.4 Domaine de convergence
6.4.1
Convergence des s´ eries enti` eres
D ´ efinition. Une s´ erie du type a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + · · · ou plus
g´ en´ eralement a 0 + a 1 (x − c) + a 2 (x − c) 2 + · · · sera appel´ ee s´ erie
enti` ere.
S´ eries enti` eres complexes
Pour la convergence de la s´ erie a 0 + a 1 (z − c) + a 2 (z − c) 2 + · · ·,
il existe trois possibilit´ es :