S´ eries de Taylor
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Proposition. Soit
f(x) = f(a) + f
(a)(x − a) + · · · +
f (n) (a)
n!
(x − a)
n + R n
Il revient alors au mˆ eme de dire que
(a) R n → 0 (si n → ∞) pour un certain x; ou
(b) la s´ erie de Taylor tend vers f(x) (pour ce mˆ eme x); ou
(b ) f(x) = f(a) +
f (a)
1!
(x − a) +
f (a)
2!
(x − a)
2 + · · · (pour ce
mˆ eme x).
Remarque. Pour qu’une fonction puisse ˆ
etre d´ evelopp´ ee en s´ erie de
Taylor autour de a, il est n´ ecessaire (mais pas suffisant) que toutes les
d´ eriv´ ees existent en a.
6.3.2
Exemples de fonctions enti` eres
D ´ efinition. Une fonction f est appel´ ee fonction enti` ere, si sa
s´ erie de Taylor converge vers f(x) pour tout x, quel que soit le
centre de d´ eveloppement.
Quelques fonctions enti` eres et leur s´ erie de Taylor
e
x = 1 +
x
1!
+
x 2
2!
+
x 3
3!
+ · · · +
x n
n!
+ · · · (pour tout x)
cos x = 1 −
x 2
2!
+
x 4
4!
−
x 6
6!
+
x 8
8!
− · · ·
(pour tout x)
sin x = x −
x 3
3!
+
x 5
5!
−
x 7
7!
+
x 9
9!
− · · ·
(pour tout x)
ch x = 1 +
x 2
2!
+
x 4
4!
+
x 6
6!
+
x 8
8!
+ · · ·
(pour tout x)
sh x = x +
x 3
3!
+
x 5
5!
+
x 7
7!
+
x 9
9!
+ · · ·
(pour tout x)