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S´ eries de Taylor
Remarque
« R n =
f (n+1) (ξ)
(n + 1)!
(x−a)
n+1 pour un certain ξ entre a et x » signifie,
plus exactement : il existe ξ entre a et x tel que R n = . . .
Pr´ ecision de l’approximation d’ordre n
Probl` eme. Que vaut l’approximation d’ordre n dans un intervalle
[ a − d , a + d ] donn´ ee ?
M´ ethode de r´ esolution. On peut souvent estimer la pr´ ecision de f n
en majorant le reste R n :
R n (x)
f (n+1) (∗)
(n + 1)!
d
n+1
Il faut choisir la valeur ∗ entre a et x de sorte que |f (n+1) | soit maximale.
6.3 S´ eries de Taylor
6.3.1
La notion de s´ erie de Taylor
L’expression :
f(a) +
f (a)
1!
(x − a) +
f (a)
2!
(x − a)
2 + · · · +
f (n) (a)
n!
(x − a)
n + · · ·
est appel´ ee s´ erie de Taylor de la fonction f.
La valeur a est appel´ ee centre du d´ eveloppement de Taylor.