Formule de Taylor
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Autre d´ efinition de la d´ eriv´ ee
Intuitivement, une fonction f est dite d´ erivable en a, si elle peut
ˆ etre approch´ ee dans un voisinage de a par une fonction lin´ eaire (affine)
f 1 (x) = f(a) + mx. m sera alors appel´ ee d´ eriv´ ee de f en a.
De fa¸ con pr´ ecise :
Nouvelle d ´ efinition. f est appel´ ee d´ erivable en a s’il existe
un nombre m et une fonction R(x) telle que
lim
x→a
R(x)
x − a
= 0
et telle que la fonction f peut s’´ ecrire :
f(x) = f(a) + m(x − a) + R(x)
m sera appel´ e d´ eriv´ ee de f en a.
6.2.3
Pr´ ecision de l’approximation d’ordre n
Th ´ eor ` eme (formule de Taylor). Si f est n+1 fois continˆ ument
d´ erivable sur [ a , x ] (resp. [ x , a ]), alors
f(x) = f(a) +
f (a)
1!
(x − a) +
f (a)
2!
(x − a)
2 + · · ·
+
f (n) (a)
n!
(x − a)
n + R n
o` u le reste R n peut (par exemple) ˆ
etre not´ e :
R n =
f (n+1) (ξ)
(n + 1)!
(x − a)
n+1
pour un certain ξ entre a et x
ou
R n =
1
n!
x
t=a
(x − t)
n f
(n+1) (t) dt