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S´ eries de Taylor
Pr´ ecision dans un intervalle
Probl` eme. Estimer la pr´ ecision de l’approximation lin´ eaire dans un
intervalle (sym´ etrique) autour de a : (a − ρ , a + ρ).
Marche `
a suivre
(1) Remplacer dans la formule du reste R la valeur ξ par celle des
valeurs ∗ entre a − ρ et a + ρ pour laquelle
f (∗)
est maximale.
(2) Remplacer dans la formule du reste R la valeur |x − a| par ρ.
Pr´ ecision donn´ ee, intervalle cherch´ e
Probl` eme. Trouver un intervalle (sym´ etrique) [ a − ρ , a + ρ ] dans lequel l’impr´ ecision de l’approximation lin´ eaire ne d´ epasse pas une valeur
ε donn´ ee.
Solution. Au cas o` u |f | prend son maximum soit en a, soit ` a une
des extr´ emit´ es d’un (petit) intervalle autour de a, on peut proc´ eder de
la mani` ere suivante :
• Si |f | est maximale en a : r´ esoudre
f (a)
2
ρ
2 < ε. D’o` u ρ < . . .
• Si |f | est maximale `
a une des extr´ emit´ e de l’intervalle (par exemple en a + ρ) : r´ esoudre
f (a + ρ)
2
ρ
2 < ε. D’o` u ρ < . . .
Dans ce cas, il est souvent n´ ecessaire de majorer
f (a + ρ)
pour
trouver une in´ egalit´ e «maniable ».
6.2.2
Une autre d´ efinition de la d´ eriv´ ee
Comportement du reste pour x → a
Proposition. On a R → 0 (pour x → a) et en plus
R
x − a
−→ 0
(pour x → a)
Intuitivement : R non seulement tend vers 0, mais R tend vers
z´ ero plus « vite» que x − a.
S´ eries de Taylor
Pr´ ecision dans un intervalle
Probl` eme. Estimer la pr´ ecision de l’approximation lin´ eaire dans un
intervalle (sym´ etrique) autour de a : (a − ρ , a + ρ).
Marche `
a suivre
(1) Remplacer dans la formule du reste R la valeur ξ par celle des
valeurs ∗ entre a − ρ et a + ρ pour laquelle
f (∗)
est maximale.
(2) Remplacer dans la formule du reste R la valeur |x − a| par ρ.
Pr´ ecision donn´ ee, intervalle cherch´ e
Probl` eme. Trouver un intervalle (sym´ etrique) [ a − ρ , a + ρ ] dans lequel l’impr´ ecision de l’approximation lin´ eaire ne d´ epasse pas une valeur
ε donn´ ee.
Solution. Au cas o` u |f | prend son maximum soit en a, soit ` a une
des extr´ emit´ es d’un (petit) intervalle autour de a, on peut proc´ eder de
la mani` ere suivante :
• Si |f | est maximale en a : r´ esoudre
f (a)
2
ρ
2 < ε. D’o` u ρ < . . .
• Si |f | est maximale `
a une des extr´ emit´ e de l’intervalle (par exemple en a + ρ) : r´ esoudre
f (a + ρ)
2
ρ
2 < ε. D’o` u ρ < . . .
Dans ce cas, il est souvent n´ ecessaire de majorer
f (a + ρ)
pour
trouver une in´ egalit´ e «maniable ».
6.2.2
Une autre d´ efinition de la d´ eriv´ ee
Comportement du reste pour x → a
Proposition. On a R → 0 (pour x → a) et en plus
R
x − a
−→ 0
(pour x → a)
Intuitivement : R non seulement tend vers 0, mais R tend vers
z´ ero plus « vite» que x − a.