Formule de Taylor
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6.2 Formule de Taylor
6.2.1
Pr´ ecision de l’approximation lin´ eaire
Th ´ eor ` eme. Si f existe dans un intervalle comprenant a et
x, alors il existe ξ entre a et x tel que
f(x) = f(a) + f
(a) · (x − a)
f 1 (x)
+
f (ξ)
2
(x − a)
2
R
Le terme R =
f (ξ)
2
(x − a)
2 sera appel´ e reste.
Majorer le reste. Si l’on veut estimer la pr´ ecision de l’approximation
lin´ eaire f 1 d’une fonction f, on essayera de majorer le reste R. La
difficult´ e principale dans l’application de la formule ci-dessus r´ eside
dans le fait qu’elle postule l’existence d’une valeur ξ sans donner de
m´ ethode pour trouver cette valeur.
En g´ en´ eral, il suffit de remplacer ξ par une valeur (entre a et x)
pour laquelle |f | est maximale.
Pr´ ecision en un point
Probl` eme. Estimer la pr´ ecision de l’approximation lin´ eaire f pour
une valeur x donn´ ee.
M´ ethode de calcul. Remplacer dans la formule du reste R la valeur
ξ par celle parmi les valeurs ∗ (entre a et x) pour laquelle
f (∗)
est
maximale. On a alors
|R|
f (∗)
2
|x − a|
2