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S´ eries de Taylor
f 2 est le (seul) polynˆ ome de degr´ e 2 ayant en a :
• la mˆ eme valeur que f,
• la mˆ eme d´ eriv´ ee que f,
• la mˆ eme d´ eriv´ ee seconde que f.
y = f 2 (x) est la parabole osculatrice de y = f(x) au point de
coordonn´ ees
a, f(a)
:
• elle passe par le point
a, f(a)
du graphe de y = f(x),
• elle a la mˆ eme tangente que y = f(x) en ce point de contact,
• elle a la mˆ eme courbure que y = f(x) en ce point.
Interpr´ etation g´ eom´ etrique des approximations d’ordre 1 et 2
y = f 1 (x) tangente
y = f (x)
y = f 2 (x) parabole
osculatrice
y
f (a)
x
a
Approximation d’ordre n
f n (x) = f(a) +
f (a)
1!
(x − a) +
f (a)
2!
(x − a)
2 + · · · +
f (n) (a)
n!
(x − a)
n
est appel´ ee approximation (locale) d’ordre n de la fonction f (dans un
voisinage du point a).
f n (x) est le polynˆ ome de degr´ e n ayant en a :
• la mˆ eme valeur que f,
• la mˆ eme d´ eriv´ ee que f,
. . .
• la mˆ eme d´ eriv´ ee n i` eme que f.