Chapitre 6
S´ eries de Taylor
6.1 Approximations locales par des polynˆ omes
Dans cette section, on suppose l’existence de toutes les d´ eriv´ ees
utilis´ ees.
Approximation lin´ eaire (sect. 3.7)
f 1 (x) = f(a) + f
(a)(x − a)
est appel´ ee approximation lin´ eaire ou approximation d’ordre 1 de f
dans un voisinage du point a.
f 1 est le (seul) polynˆ ome de degr´ e 1 ayant en a :
• la mˆ eme valeur que f,
• la mˆ eme d´ eriv´ ee que f.
y = f 1 (x) est la tangente ` a la courbe y = f(x) en a, plus pr´ ecis´ ement : au point de coordonn´ ees
a, f(a)
.
Approximation d’ordre 2
f 2 (x) = f(a) + f
(a)(x − a) +
f (a)
2!
(x − a)
2
est appel´ ee approximation d’ordre 2 de la fonction f.