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S´ eries
Intuitivement. Une s´ erie uniform´ ement convergente peut ˆ
etre int´ egr´ ee terme par terme.
Autre formulation. Dans une s´ erie uniform´ ement convergente, on
peut permuter
et
.
D´ erivation des s´ eries de fonctions
Proposition. Soit a i (x) une suite de fonctions continˆ ument
d´ erivables.
Si la s´ erie
∞
i=1 a i converge (au moins simplement) vers f et
si la s´ erie des d´ eriv´ ees
∞
i=1 a
i converge uniform´ ement vers g,
alors f est d´ erivable et f = g.
Intuitivement. Dans une s´ erie convergente, dont les d´ eriv´ ees convergent uniform´ ement, on peut permuter
et d/dx :
a i
=
a
i
Autre formulation. Une s´ erie convergente de fonctions peut ˆ
etre d´ eriv´ ee terme par terme, si la nouvelle s´ erie converge uniform´ ement.