Suite de fonctions, s´ erie de fonctions, convergences
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Intuitivement.
Dans une suite uniform´ ement convergente on peut
permuter lim et
:
lim
f i dx =
lim f i dx
D´ erivation de suites uniform´ ement convergentes
Proposition. Soit f i une suite de fonctions continˆ ument d´ erivables sur [ a , b ].
Si les f i convergent (au moins simplement) vers f et si les f
i
convergent uniform´ ement vers g, alors
f est d´ erivable et f
= g
Intuitivement.
Dans une suite dont les d´ eriv´ ees sont continues et
convergent uniform´ ement, on peut inverser limite et d´ eriv´ ee :
lim f i
= lim
f
i
5.3.2
S´ eries de fonctions r´ eelles
D ´ efinition. Soient a i (x), a 2 (x), a 3 (x), . . . des fonctions r´ eelles d´ efinies sur A ⊂ R.
On dit que la s´ erie a 1 + a 2 + a 3 + · · · converge simplement (resp.
uniform´ ement) vers a si la suite des sommes partielles convergent simplement (resp. uniform´ ement) vers a(x).
Int´ egration de s´ eries uniform´ ement convergentes
Proposition. Soit a i (x) une suite de fonctions continues sur
[ a , b ].
Si la s´ erie
∞
i=1 a i converge uniform´ ement (vers f), on a :
∞
i=1
b
a
a i (x) dx =
b
a
∞
i=1
a i (x)
dx
=
b
a
f(x) dx