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S´ eries
D´ efinition ´
equivalente de la convergence uniforme
Appelons
sup
x∈A
f(x) − g(x)
= d(f, g)
la distance des deux fonctions f et g.
Appelons l’ensemble des fonctions dont la distance `
a f est < ε un
ε-voisinage (ouvert) de f : V ε (f) =
g | d(g, f) < ε
.
On peut formuler la d´ efinition de la convergence uniforme de la
mani` ere suivante :
On dit que la suite f 1 , f 2 , . . . converge uniform´ ement vers f si, pour
tout ε-voisinage V ε (f), il existe un indice N ` a partir duquel toutes les
f i sont dans V ε (f).
Proposition. Une suite f i qui converge uniform´ ement vers f
converge aussi simplement vers f.
Remarque. Une suite f i qui converge simplement vers f ne converge
pas n´ ecessairement aussi uniform´ ement vers f.
Limite uniforme d’une suite de fonctions continues
Proposition. Soit f i une suite de fonctions continues sur
[ a , b ].
Si la suite f i converge uniform´ ement vers f, alors f est aussi
continue sur [ a , b ].
Int´ egration de suites uniform´ ement convergentes
Proposition. Soit f i une suite de fonctions continues sur
[ a , b ].
Si les f i convergent uniform´ ement vers f, on a :
lim
i→∞
b
a
f i (x) dx =
b
a
f(x) dx
=
b
a
lim
i→∞
f i (x) dx