Suite de fonctions, s´ erie de fonctions, convergences
93
5.3 Suite de fonctions, s´ eries de fonctions,
convergences simple et uniforme
5.3.1
Suites de fonctions r´ eelles
Convergence simple et convergence uniforme
D ´ efinition. Soit f 1 , f 2 , f 3 , . . . une suite de fonctions d´ efinies
sur A ⊂ R.
On dit que la suite f i converge simplement (ou ponctuellement)
vers f, si pour tout x ∈ A, f i (x) converge vers f(x).
Si f i (x) converge vers f(x) seulement pour les x ∈ D ⊂ A, on
appelle D domaine de convergence de la suite.
D ´ efinition. On dit qu’une suite f 1 , f 2 , . . . de fonctions, d´ efinies sur A ⊂ R, converge uniform´ ement vers f si, pour tout
ε > 0 (aussi petit soit-il), il existe un indice N (qui ne d´ epend
pas de x, mais seulement de ε!) tel que pour tout x ∈ A on a :
f i (x) − f(x)
< ε si i > N.
Autrement dit : f i est `
a l’int´ erieur de la bande f(x) + ε, f(x) − ε.
y
x
f (x)+ε
f (x)
f (x)−ε
ε
ε
f i
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5.3 Suite de fonctions, s´ eries de fonctions,
convergences simple et uniforme
5.3.1
Suites de fonctions r´ eelles
Convergence simple et convergence uniforme
D ´ efinition. Soit f 1 , f 2 , f 3 , . . . une suite de fonctions d´ efinies
sur A ⊂ R.
On dit que la suite f i converge simplement (ou ponctuellement)
vers f, si pour tout x ∈ A, f i (x) converge vers f(x).
Si f i (x) converge vers f(x) seulement pour les x ∈ D ⊂ A, on
appelle D domaine de convergence de la suite.
D ´ efinition. On dit qu’une suite f 1 , f 2 , . . . de fonctions, d´ efinies sur A ⊂ R, converge uniform´ ement vers f si, pour tout
ε > 0 (aussi petit soit-il), il existe un indice N (qui ne d´ epend
pas de x, mais seulement de ε!) tel que pour tout x ∈ A on a :
f i (x) − f(x)
< ε si i > N.
Autrement dit : f i est `
a l’int´ erieur de la bande f(x) + ε, f(x) − ε.
y
x
f (x)+ε
f (x)
f (x)−ε
ε
ε
f i