92
S´ eries
5.2.2
Cas particulier des tests de d’Alembert
et de Cauchy
Proposition. Si
lim
i→∞
a i+1
a i
= p
alors on a pour
• p < 1 convergence (absolue),
• p > 1 divergence,
• p = 1 test non concluant.
Proposition. Si
lim
i→∞
i
|a i | = p
alors on a pour
• p < 1 convergence (absolue),
• p > 1 divergence,
• p = 1 test non concluant.
5.2.3
Comparaison avec une int´ egrale
Proposition. Soit
∞
n=1 a n une s´ erie `
a termes positifs avec
a n → 0.
Soit f(x), (d´ efinie et) d´ ecroissante, `
a partir d’un k > 0, telle que
f(n) = a n pour n > k. Alors :
• si
∞
k
f(x) dx converge, alors
∞
i=1
a n converge aussi,
• si
∞
k
f(x) dx diverge, alors
n
i=1
a n diverge aussi.
S´ eries
5.2.2
Cas particulier des tests de d’Alembert
et de Cauchy
Proposition. Si
lim
i→∞
a i+1
a i
= p
alors on a pour
• p < 1 convergence (absolue),
• p > 1 divergence,
• p = 1 test non concluant.
Proposition. Si
lim
i→∞
i
|a i | = p
alors on a pour
• p < 1 convergence (absolue),
• p > 1 divergence,
• p = 1 test non concluant.
5.2.3
Comparaison avec une int´ egrale
Proposition. Soit
∞
n=1 a n une s´ erie `
a termes positifs avec
a n → 0.
Soit f(x), (d´ efinie et) d´ ecroissante, `
a partir d’un k > 0, telle que
f(n) = a n pour n > k. Alors :
• si
∞
k
f(x) dx converge, alors
∞
i=1
a n converge aussi,
• si
∞
k
f(x) dx diverge, alors
n
i=1
a n diverge aussi.