90
S´ eries
5.1.4
S´ eries complexes
Except´ e le paragraphe sur les s´ eries altern´ ees et le th´ eor` eme de Riemann sur les s´ eries semi-convergentes, toutes les d´ efinitions et propositions figurant ci-dessus sont ´
egalement valables pour des s´ eries `
a termes
complexes. Notamment :
• la d´ efinition de la convergence d’une s´ erie,
• les propositions et r` egles de calcul pour toutes les s´ eries,
• la d´ efinition de la convergence absolue,
• la proposition selon laquelle toute s´ erie absolument convergente est
convergente,
• les r` egles de calcul pour les s´ eries absolument convergentes.
Exemple. La s´ erie g´ eom´ etrique complexe :
1 + z + z
2 + z
3 + · · ·



=
1
1 − z
si |z| < 1
n’existe pas si |z| 1
5.2 S´ eries `
a termes positifs, crit` eres de convergence
Majorer et minorer des s´ eries `
a termes positifs
(1) Majorer. Soit 0 a i b i ; si
∞
i=1 b i converge, alors
∞
i=1 a i
converge aussi.
(2) Minorer. Soit 0 b i a i ; si
∞
i=1 b i diverge, alors
∞
i=1 a i diverge
aussi.
Majorer et minorer des s´ eries quelconques
(1) Majorer : soit 0 |a i | b i ; si
∞
i=1 b i converge, alors
∞
i=1 a i
converge (absolument).
(2) Minorer : soit 0 b i |a i | ; si
∞
i=1 b i diverge, alors
∞
i=1 a i n’est
pas absolument convergente (c’est-` a-dire
∞
i=1 a i est soit divergente soit semi-convergente).