S´ eries num´ eriques, s´ eries altern´ ees
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5.1.3
Convergence absolue
D ´ efinition. Une s´ erie
a i est dite absolument convergente,
si la s´ erie
|a i | des valeurs absolues converge.
Proposition. Toute s´ erie absolument convergente est convergente.
Remarque. Il existe des s´ eries convergentes qui ne sont pas absolument convergentes. Exemple : « la s´ erie harmonique»
1 −
1
2
+
1
3
−
1
4
+ · · ·
R` egles de calcul pour les s´ eries absolument convergentes
(1) Si
a i et
b i convergent absolument, alors
(a i ± b i ) converge
absolument.
(2) Si
∞
i=0 a i et
∞
i=0 b i convergent absolument (vers a resp. vers b),
alors leur «produit»
∞
(k+=i)
i=0
a k · b
converge absolument (vers a · b).
(3) Toute sous-s´ erie d’une s´ erie absolument convergente est absolument
convergente.
(4) Si une s´ erie est absolument convergente, on peut permuter librement les termes : la s´ erie restera absolument convergente et la
somme sera la mˆ eme.
S´ eries convergentes mais pas absolument convergentes
Ces s´ eries sont aussi appel´ ees semi-convergentes.
Th ´ eor ` eme (Riemann). Soit
a i convergente mais pas absolument convergente. En permutant ses termes, on peut obtenir
n’importe quelle somme ou mˆ eme une s´ erie divergente.