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S´ eries
Propositions et r` egles de calcul pour toutes les s´ eries
(1) Si
∞
i=1 a i converge, alors a i → 0.
(2) «On peut multiplier une s´ erie convergente terme par terme par un
nombre». De fa¸ con pr´ ecise : si
∞
i=1 a i = a, alors
∞
i=1
λa i = λ
∞
i=1
a i = λa
On dit aussi : « On peut mettre en ´
evidence un facteur commun
aux termes d’une s´ erie convergente».
(3) «On peut additionner deux s´ eries convergentes terme par terme».
De fa¸ con pr´ ecise : si
∞
i=1 a i = a,
∞
i=1 b i = b, alors
∞
i=1
(a i ± b i ) =
∞
i=1
a i ±
∞
i=1
b i = a ± b
(4) Si la s´ erie
∞
i=1 a i converge (resp. diverge), alors, apr` es modification d’un nombre fini de termes, la s´ erie converge (resp. diverge)
toujours.
(5) Crit` ere de Cauchy. La s´ erie
∞
i=1 a i converge si et seulement si,
pour tout ε > 0, il existe N tel que N n < m implique :
|a n + a n+1 + · · · + a m | < ε. (Intuitivement : pour des indices n
et m suffisamment grands, la somme |a n + · · · + a m | est aussi petite que l’on veut.)
5.1.2
S´ eries altern´ ees
D ´ efinition. Une s´ erie
a i est dite s´ erie altern´ ee, si a i et
a i+1 sont de signe oppos´ e quel que soit i.
Crit` ere de Leibniz
Proposition. Soit
a i une s´ erie altern´ ee telle que
(a) lim a i = 0,
(b) |a i | est d´ ecroissant,
alors
a i converge.
S´ eries
Propositions et r` egles de calcul pour toutes les s´ eries
(1) Si
∞
i=1 a i converge, alors a i → 0.
(2) «On peut multiplier une s´ erie convergente terme par terme par un
nombre». De fa¸ con pr´ ecise : si
∞
i=1 a i = a, alors
∞
i=1
λa i = λ
∞
i=1
a i = λa
On dit aussi : « On peut mettre en ´
evidence un facteur commun
aux termes d’une s´ erie convergente».
(3) «On peut additionner deux s´ eries convergentes terme par terme».
De fa¸ con pr´ ecise : si
∞
i=1 a i = a,
∞
i=1 b i = b, alors
∞
i=1
(a i ± b i ) =
∞
i=1
a i ±
∞
i=1
b i = a ± b
(4) Si la s´ erie
∞
i=1 a i converge (resp. diverge), alors, apr` es modification d’un nombre fini de termes, la s´ erie converge (resp. diverge)
toujours.
(5) Crit` ere de Cauchy. La s´ erie
∞
i=1 a i converge si et seulement si,
pour tout ε > 0, il existe N tel que N n < m implique :
|a n + a n+1 + · · · + a m | < ε. (Intuitivement : pour des indices n
et m suffisamment grands, la somme |a n + · · · + a m | est aussi petite que l’on veut.)
5.1.2
S´ eries altern´ ees
D ´ efinition. Une s´ erie
a i est dite s´ erie altern´ ee, si a i et
a i+1 sont de signe oppos´ e quel que soit i.
Crit` ere de Leibniz
Proposition. Soit
a i une s´ erie altern´ ee telle que
(a) lim a i = 0,
(b) |a i | est d´ ecroissant,
alors
a i converge.