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Chap. 4. Séries numériques
Exercice 4.28
TPE PC 2006
Pour n ∈ N on pose a n =
1
0
t
n
1 − t 2 dt .
1) Montrer que la série de terme général (−1)
n a n converge et que sa somme vaut
p/2 − 1.
2) Montrer que, pour n 2, a n = R(n)a n−2 où R est une fraction rationnelle.
3) Montrer que n(n + 1)(n + 2)a n a n−1 est constant.
4) Montrer que la série de terme général a n converge.
1) Lorsque t ∈ [ 0, 1 ] on a 0 t
n
1 − t 2 t
n et en intégrant 0 a n 1/(n + 1) .
La suite (a n ) converge vers 0. D’autre part t
n+1
1 − t 2 t
n
1 − t 2 , donc en
intégrant a n+1 a n . La suite (a n ) est décroissante. Alors il résulte du critère de
Leibniz que la série de terme général (−1)
n a n converge.
On a S N =
N
n=0
(−1)
n a n =
1
0
1 − t 2 1 − (−1)
N +1 t
N +1
1 + t
dt .
Mais 0
1 − t 2 t
N +1
1 + t
t
N +1 , donc en intégrant
0
1
0
1 − t 2 t
N +1
1 + t
dt
1
N + 2
.
Il en résulte que la suite
1
0
1 − t 2 (−1)
N +1 t
N +1
1 + t
dt
converge vers 0, et que
(S N ) converge vers I =
1
0
√
1 − t 2
1 + t
dt .
On calcule cette intégrale en effectuant le changement de variable t = cos u. On a
alors dt = − sin u du. Donc
I =
p/2
0
√
1 − cos 2 u
1 + cos u
sin u du =
p/2
0
sin
2 u
2 cos 2 u
2
du =
p/2
0
2 sin
2 u
2
du
=
p/2
0
(1 − cos u) du =
u − sin u
p/2
0
=
p
2
− 1 .
On a donc bien
+∞
n=0
(−1)
n a n =
p
2
− 1 .