4.3 Exercices d’approfondissement 83
2) Sur [ 0, 1 ] , la fonction t → t
1 − t 2 a pour primitive −(1 − t
2 )
3/2 /3. En intégrant par parties a n =
1
0
t
n−1 (t
1 − t 2 ) dt lorsque n 2, on obtient,
a n =
−
t
n−1 (1 − t
2 )
3/2
3
1
0
+
n − 1
3
1
0
t
n−2 (1 − t
2 )
3/2 dt
=
n − 1
3
1
0
t
n−2 (1 − t
2 )
1 − t 2 dt =
n − 1
3
(a n−2 − a n ) .
On en déduit que (n + 2)a n = (n − 1)a n−2 .
3) Alors en multipliant par n(n + 1)a n−1 , on obtient
n(n + 1)(n + 2)a n a n−1 = (n − 1)n(n + 1)a n−1 a n−2 ,
ce qui montre que que la suite (n(n + 1)(n + 2)a n a n−1 ) n1 est constante.
4) On a donc pour tout n 1, la relation n(n + 1)(n + 2)a n a n−1 = 6a 1 a 0 .
En utilisant la décroissance de la suite (a n ), on a, a n a n−1 a n−2 et donc, en
divisant par a n , on obtient 1
a n−1
a n
a n−2
a n
=
n + 2
n − 1
. On déduit du théorème
d’encadrement que la suite (a n−1 /a n ) converge vers 1, donc que a n ∼
n→+∞
a n−1 .
Alors a
2
n
∼
n→+∞
a n a n−1 =
6a 1 a 0
n(n + 1)(n + 2)
∼
n→+∞
6a 1 a 0
n 3 . D’où l’on déduit
a n ∼
n→+∞
√
6a 1 a 0
n 3/2 , et la série de terme général a n converge par comparaison à une
série de Riemann.
4.3 EXERCICES D’APPROFONDISSEMENT
Exercice 4.29
CCP PC 2006
On considère les suites (h n ) n1 et (u n ) n1 définies par h n =
n
k=1
1
k
et
u n = h n − ln n.
1) En étudiant la série de terme général u n+1 − u n , montrer que la suite (u n ) n1
est convergente. On note g sa limite.
2) Justifier le fait que h n = ln n + g + o(1).
Montrer qu’il existe deux réels a et b que l’on déterminera, tels que,
∀n ∈ N
∗
2n
k=1
(−1)
k
k
= ah 2n − bh n .
En déduire la formule
+∞
k=1
(−1)
k
k
= − ln 2 .
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit