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Chap. 4. Séries numériques
3) On considère a dans R. Soit (w n ) n1 la suite définie par w n = −a/n si n est
un multiple de 4 et w n = 1/n sinon. Pour n 1 on pose S n =
n
k=1
w k .
3.a Montrer que la suite (S 4n ) n1 est convergente si et seulement si a = 3.
3.b On suppose que a = 3. Etablir la convergence de la série
w n et
calculer la somme
+∞
k=1
w k .
1) Soit n ∈ N
∗ . On a u n+1 − u n = h n+1 − h n − ln
n + 1
n
=
1
n + 1
+ ln
n
n + 1
.
On peut donc écrire u n+1 − u n =
1
n + 1
+ ln
1 −
1
n + 1
, et en utilisant le développement limité au voisinage de 0 : ln(1 + u) = u + O(u
2 ) on a
u n+1 − u n =
1
n + 1
−
1
n + 1
+ O
1
(n + 1) 2
= O
1
(n + 1) 2
.
La série de terme général u n+1 − u n converge par comparaison à la série de Riemann
1/(n + 1)
2 . La suite des sommes partielles
n−1
k=1
(u k+1 − u k )
n2
est donc convergente. Mais u n =
n−1
k=1
(u k+1 − u k ) + u 1 et il en résulte que la suite (u n ) n1 converge
également.
2) Puisque (u n ) n1 converge vers g, on a u n = g + o(1) donc h n − ln n = g + o(1),
ce qui donne bien h n = ln n + g + o(1).
En séparant les termes de rang pair et ceux de rang impair, on a
2n
k=1
(−1)
k
k
=
n
p=1
1
2 p
−
n−1
p=0
1
2 p + 1
et
2n
k=1
1
k
=
n
p=1
1
2 p
+
n−1
p=0
1
2 p + 1
.
Donc en additionnant ces deux égalités membre à membre
2n
k=1
(−1)
k
k
+
2n
k=1
1
k
=
n
p=1
1
p
d’où l’on déduit
2n
k=1
(−1)
k
k
= −h 2n + h n et en utilisant la relation obtenue ci-dessus,
2n
k=1
(−1)
k
k
= −(ln(2n) + g) + (ln n + g) + o(1) = − ln 2 + o(1) .