4.3 Exercices d’approfondissement 85
Comme d’après le critère de Leibniz la série de terme général (−1)
n /n converge, on
a alors
+∞
k=1
(−1)
k
k
= lim
n→+∞
2n
k=1
(−1)
k
k
= − ln 2 .
3.1 En séparant les termes de rang 4s, 4s + 1, 4s + 2, 4s + 3, on obtient
S 4n =
4n
k=1
w k =
n−1
s=0
(w 4s+1 + w 4s+2 + w 4s+3 + w 4s+4 ) .
Alors S 4n est la somme partielle de rang n − 1 de la série de terme général
a n = w 4n+1 + w 4n+2 + w 4n+3 + w 4n+4 =
1
4n + 1
+
1
4n + 2
+
1
4n + 3
−
a
4n + 4
.
En remarquant que
1
4n + b
=
1
4n
1
1 +
b
4n
=
1
4n
1 + O
1
n
=
1
4n
+ O
1
n 2
,
on obtient a n =
3 − a
4n
+ O
1
n 2
.
Lorsque a = 3, on a a n = O
1
n 2
, et la série de terme général a n converge par
comparaison à la série de Riemann de terme général 1/n
2 .
Lorsque a = 3, on a a n ∼
n→+∞
3 − a
4n
, et la série de terme général a n diverge par
comparaison à la série harmonique.
Donc la suite (S 4n ) converge si et seulement si a = 3.
3.2 On prend donc a = 3. On a
et
S 4n+1 = S 4n + 1/(4n + 1), S 4n+2 = S 4n + 1/(4n + 1) + 1/(4n + 2)
S 4n+3 = S 4n + 1/(4n + 1) + 1/(4n + 2) + 1/(4n + 3) .
Alors, lorsque 0 r 3, les suites (S 4n+r ) convergent vers la même limite. Il en
résulte que la suite (S n ) converge vers la limite commune. Il suffit de chercher la
limite de (S 4n ). On peut écrire a n =
1
4n + 1
+
1
4n + 2
+
1
4n + 3
+
1
4n + 4
−
4
4n + 4
,
et donc S 4n =
4n
k=1
1
k
−
n
k=1
1
k
= h 4n − h n .
En appliquant la formule obtenue en 2), on obtient alors
S 4n = (ln(4n) + g) − (ln n + g) + o(1) = ln 4 + o(1) ,
et donc (S 4n ) converge vers 2 ln 2. Il en résulte que (S n ) converge aussi vers 2 ln 2 .
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