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Chap. 4. Séries numériques
Exercice 4.30
CCP PC 2006
On considère la suite (u n ) n∈N de fonctions de la variable réelle x définie par :
∀n ∈ N ∀x ∈ R, u n (x) = cos(n!px) .
1) Montrer que si x ∈ Q, la suite (u n (x)) n∈N est constante égale à 1 à partir d’un
certain rang.
2) A l’aide du développement en série e =
+∞
k=0
1
k!
, écrire n!e sous la forme
n!e = P n + r n , où P n ∈ N et où
1
n + 1
r n
e − 1
n + 1
.
3) Que peut-on dire de la suite (u n (x)) n∈N lorsque x ∈ 2eZ ?
4) Etudier la suite (|u n (e)|) n∈N .
5) Etudier la série de terme général v n = 1 − |u n (e)| .
1) En écrivant x = p/q où p ∈ Z et q ∈ N
∗ , on a n! x = n! p/q . Si n q + 2,
alors n!x = p(q − 1)!(q + 1) · · · n est un nombre entier et comme il contient comme
facteurs le produit n(n − 1) qui est pair, il en résulte qu’il est pair également. Donc
cos(n!px) = 1 . La suite (u n (x)) n∈N est donc constante à partir du rang q + 2.
2) On a n!e =
n
k=0
n!
k!
+
+∞
k=n+1
n!
k!
. Mais, lorsque 0 k n, le nombre k! divise n!
et P n =
n
k=0
n!
k!
est une somme de nombres entiers positifs, donc appartient à N .
Posons r n =
+∞
k=n+1
n!
k!
et encadrons cette somme.
On peut minorer la somme r n par son premier terme, donc r n
1
n + 1
. D’autre part,
on a
r n =
+∞
k=n+1
1
(n + 1)(n + 2) · · · k
=
1
n + 1
1 +
+∞
k=n+2
1
(n + 2) · · · k
.
Mais, lorsque k n + 2, on peut minorer le produit (n + 2) · · · k, par 2 · · · (k − n), on
obtient
r n
1
n + 1
1 +
+∞
k=n+2
1
2 · · · (k − n)
=
1
n + 1
1 +
+∞
k=2
1
k!
=
e − 1
n + 1
.
3) Si x = 2eq avec q ∈ Z, on a alors u n (x) = cos(2qn!ep) = cos(2q P n p + 2qr n p)
et puisque q P n est entier, u n (x) = cos(2qr n p) .
Mais il résulte de la question précédente que la suite (r n ) converge vers 0. Alors la
suite (cos(2qr n p)) converge vers cos 0 = 1. Donc (u n (x)) converge vers 1.