4.3 Exercices d’approfondissement 87
4) On a cette fois u n (e) = cos(n!ep) = cos(P n p + r n p) = (−1)
P n cos(r n p) . Donc
|u n (e)| = | cos(r n p)| et la suite (cos(r n p)) converge vers cos 0 = 1. Donc (|u n (e)|)
converge vers 1.
5) D’après 4) la suite (v n ) converge vers 0, et d’autre part v n = 1 − | cos(r n p)| 0 .
Comme la suite (r n ) converge vers 0 et est positive, le nombre r n appartient à
[ 0, 1/2 ] à partir d’un certain rang, donc r n p appartient à [ 0, p/2 ] et cos(r n p) est
positif à partir d’un certain rang. Alors
0 v n = 1 − | cos(r n p)| = 1 − cos(r n p) = 2 sin
2 r n p
2
∼
n→+∞
r
2
n p
2
2
(e − 1)
2 p
2
2(n + 1) 2 ,
et la série de terme général v n converge par comparaison à une série de Riemann.
Exercice 4.31
CCP PSI 2007 K
1) Convergence et somme de la série
+∞
k=2
1
k 2 − 1
.
2) Convergence et somme de
+∞
k=2
E(
√
k + 1) − E(
√
k)
k
où E désigne la fonction
partie entière.
Indication de la rédaction : on rappelle que, pour tout entier k 2, on a
1
k 2 − 1
=
1
2
1
k − 1
−
1
k + 1
.
1) Pour N 2, notons S N la somme partielle de rang N de la série, on en déduit
que,
S N =
N
k=2
1
k 2 − 1
=
1
2
N −1
k=1
1
k
−
N +1
k=3
1
k
=
1
2
1 +
1
2
−
1
N
−
1
N + 1
donc
+∞
k=2
1
k 2 − 1
= lim
N →+∞
S N =
3
4
.
2) Etudions la valeur de E(
√
n) en fonction de celle de E(
√
n + 1). Pour cela remarquons tout d’abord que si l’on se donne p ∈ N
∗ , et si l’on a
√
n + 1 > p, alors
n + 1 > p
2 , et comme ces nombres sont entiers, n + 1 p
2 + 1, donc n p
2 et enfin
√
n p.
Soit alors n 2. Il y a deux cas possibles :
– Le nombre
√
n + 1 n’est pas entier.
Si k = E(
√
n + 1), on a alors 1 k <
√
n + 1 < k + 1. Dans ce cas on obtient les
inégalités k
√
n <
√
n + 1 < k + 1, et donc E(
√
n + 1) = E(
√
n) = k, ce qui
donne E(
√
n + 1) − E(
√
n) = 0.
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