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Chap. 4. Séries numériques
– Le nombre
√
n + 1 est un entier k.
Donc 1 k − 1 <
√
n + 1 = k. On a dans ce cas k − 1
√
n < k, et cette fois
E(
√
n + 1) = k et E(
√
n) = k − 1. Alors E(
√
n + 1) − E(
√
n) = 1.
Il en résulte que
E(
√
n + 1) − E(
√
n)
n
est non nul si et seulement si n + 1 = k
2 avec
k 2, c’est-à-dire n = k
2
− 1. Alors
N
2 −1
n=2
E(
√
n + 1) − E(
√
n)
n
=
N
k=2
1
k 2 − 1
.
Comme la suite (S n ) n2 des sommes partielles de la série est croissante, elle possède
une limite finie ou non et la limite de cette suite est égale à la limite de toute suite
extraite. En particulier c’est la limite de la suite (S N 2 −1 ). On a donc
+∞
n=2
E(
√
n + 1) − E(
√
n)
n
= lim
N →+∞
S N 2 −1 =
+∞
k=2
1
k 2 − 1
=
3
4
.
Exercice 4.32
TPE PC 2006 , CCP PC 2007
Nature de la série de terme général u n = (−1)
n /(n!)
1/n .
On peut majorer n! par n
n d’où |u n | 1/n, et la série de terme général |u n | diverge
par comparaison à une série harmonique.
Pour montrer la convergence de la série de terme général u n on va utiliser le critère
de Leibniz.
Démontrons que la suite (|u n |) converge vers 0.
En utilisant la formule de Stirling n! =
n
e
n √
2np´ n , où (´ n ) converge vers 1, on
en déduit ln n! = n ln n − n +
1
2
(ln n + ln(2p)) + ln ´ n , d’où
−
ln n!
n
= − ln n + 1 −
1
2
ln n
n
+
ln(2p)
n
−
ln ´ n
n
,
et cette expression définit une suite qui admet −∞ comme limite. Alors la suite
(|u n |) = (e
−
ln n!
n ) converge vers 0.
Démontrons que la suite (|u n |) est décroissante, en montrant que la suite (ln |u n |) est
décroissante.
ln |u n | − ln |u n+1 | = −
ln n!
n
+
ln(n + 1)!
n + 1
=
1
n + 1
n+1
k=1
ln k −
1
n
n
k=1
ln k
=
1
n(n + 1)
n ln(n + 1) −
n
k=1
ln k
=
1
n(n + 1)
n
k=1
(ln(n + 1) − ln k) .