4.3 Exercices d’approfondissement 89
On obtient une somme de nombres positifs, ce qui montre que pour tout n 1, on a
ln |u n | − ln |u n+1 | 0. La suite (ln |u n |) est donc décroissante, et il en résulte que la
suite (|u n |) est décroissante. Alors la série de terme général u n = (−1)
n
|u n | converge
d’après le critère de Leibniz.
Dans l’exercice suivant nous avons regroupé deux sujets d’oraux.
Exercice 4.33
Mines - Ponts PC 2006 + CCP PC 2007
Soit f continue sur [ 0, 1 ] à valeurs dans R et u n =
1
0
f (x)x
n dx .
1) Montrer que la suite (u n ) converge vers 0.
2) Pour 0 < a < 1, on pose u n (a) =
a
0
x
n f (x) dx . Montrer que la série
u n (a) converge et établir que
+∞
n=0
u n (a) =
a
0
f (x)
1 − x
dx .
3) On suppose que f (1) est non nul. On se propose d’établir que la série
u n
diverge.
3.a Montrer que si f (1) > 0 alors il existe a ∈ ] 0, 1 [ tel que,
∀n ∈ N, u n u n (a) +
f (1)
2
1
n + 1
−
a
n+1
n + 1
.
3.b Conclure.
4) Soit f la fonction définie par f (0) = 1, f (1) = 0, et si x ∈ ] 0, 1 [ par
f (x) = −
x
ln(1 − x)
.
4.a Montrer que f est continue sur [ 0, 1 ] .
4.b Montrer que
u n diverge.
5) Montrer que si f est C
1 sur [ 0, 1 ] , la série
u n converge si et seulement
si f (1) = 0.
1) Comme f est continue sur [ 0, 1 ] , il existe une constante M telle que, pour tout
x ∈ [ 0, 1 ] on ait | f (x)| M . Alors |u n | M
1
0
x
n dx =
M
n + 1
, et il en résulte
que la suite (u n ) converge vers 0.
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